【ガチで証明】「恋を積分すると愛」を数学的に証明してみた~積分(リーマン積分)の定義から丁寧に~

※この記事は大変デタラメです

こんにちは。
暑さで頭が相当おかしい管理人です。
この間、街を歩いていたらへんな本を見つけました。(実際はTwitterでみつけた)

恋を積分すると愛
― 中村 航 (著) ―


???????

どうやら理系女子の話みたいです。理系…理系…そうだ!

【恋を積分すると愛】を証明してみましょう!

なお、当記事では、MathJaxで数式を書いていきます。


1.定積分の定義

まずは積分とは何なのか、積分の定義から確認していきましょう.

Definition

ここでは、関数 $f(x)$ について考える.

まず、$[a,b]$をいくつかの小区間に分割し、それを
\[
a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b
\]
とする.

次に、任意の値 $c_1,c_2,c_3,…,c_n$ をとる.すると面積 $S$ は
\[
S=f(c_1)(x_1-x_0)+f(c_2)(x_2-x_1)+ …+f(c_n)(x_n-x_{n-1})
\]
となり、$\sum$を用いて表すと
\[
S= \sum_{k=1}^{n} f(c_k)(x_k-x_{k-1}) (リーマン和という)
\]
となるならば、 $f(x)$ は $[a,b]$ で積分可能であるといい、
\[
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) \\\]と表す.$(F(x) :原始関数)$

うむ…なるほど。


2.質問コーナー break Time

ここでは、出てきそうな質問をいくつか取り上げます.

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Q.恋は何の関数ですか?

A.恋は時間が経つにつれて変化しますので、きっと時間の関数でしょう。

 ここでは、$(時間)=t$ とすることにしましょう.

 さらに、この時間 $t$ に依存する恋の関数を
\[
(恋の関数)=f(t)
\] とおいてみることにします.


Q.恋の関数は増加関数?

A.恋は人のよって違うはずですので、場合わけが必要です.

  (ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる=増加関数
  ➡とても理想的な恋ですね💑

  (ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた=減少関数
  ➡残念.

  (ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた

  の3通りを考えてみましょう.

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3.証明(本題)

では、おそらく準備が整ったので「恋を積分すると愛⇔愛を微分すると恋」
\[
\int 恋 dt=愛
\]を証明していきましょう.

Proof

時間に依存する恋の関数を$f(t)$ とする.なお、Cを積分定数とする.
\[
\int_0^\infty f(t) dt=愛+C\tag{1}
\]を証明すればよい.

ここで恋に関して3通りに場合わけする.

(ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる=増加関数
 このときの関数を
\[
f(t)=e^t-1\tag{2}
\] に近似して考える.(1),(2)式より
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n(e^t-1) dt=\infty
\] ここで

True love is inexhaustible; the more you give, the more you have.
真実の愛は無限だ。与えれば与えるほど大きくなる。
(アントワーヌ・ド・サン=テグジュペリ)

 より愛は無限であるので
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt=\infty=愛
\] である.よって、このとき(1)式が正しいことが証明された.

(ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた=減少関数
 このときの関数を
\[
f(t)=\frac{ 1 }{ t^2+4 }\tag{3}
\] に近似して考える.(1),(3)式より
\[
\int_0^\infty \frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n\frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\frac{ \pi }{4 }
\] と収束してしまうため、愛にはならない.よって、このとき(1)式は成り立たない.

(ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた
 このときの関数を
\[
f(t)=te^{-t}\tag{4}
\] に近似して考える.(1),(4)式より
\[
\int_0^\infty te^{-t} dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^nte^{-t} dt=1
\] と収束してしまうため、愛にはならない.よって、このとき(1)式は成り立たない.

よって、(ⅰ) ,(ⅱ),(ⅲ)より「恋を積分すると愛」はすべての場合において成り立たない。(Q.E.D.)


上の証明より残念ながら
\[
\int 恋 dt=愛 ⇔(愛)'=恋
\]は成り立たないようです.
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4最後に

途絶えることのない恋?愛?ができるといいですね。

みなさま、末永くお幸せに!さよなら…✋

あっ、理系のみなさん是非買って、読んでみてください!

ご意見等ありましたらコメント欄へ💦

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恋を積分すると愛
― 中村 航 (著) ―

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