※この記事は大変デタラメです
暑さで頭が相当おかしい管理人です。
― 中村 航 (著) ―
？？？？？？？
どうやら理系女子の話みたいです。理系…理系…そうだ！
【恋を積分すると愛】を証明してみましょう！
なお、当記事では、MathJaxで数式を書いていきます。
１．定積分の定義
まずは積分とは何なのか、積分の定義から確認していきましょう．
Definition
ここでは、関数 $f(x)$ について考える．
まず、$[a,b]$をいくつかの小区間に分割し、それを
\[
a=x_0＜x_1＜x_2＜…＜x_n=b
\]
\[
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) \\\]と表す．$（F(x) ：原始関数）$
ここでは、関数 $f(x)$ について考える．
まず、$[a,b]$をいくつかの小区間に分割し、それを
\[
a=x_0＜x_1＜x_2＜…＜x_n=b
\]
とする．
次に、任意の値 $c_1,c_2,c_3,…,c_n$ をとる．すると面積 $S$ は
\[
S=f(c_1)(x_1-x_0)+f(c_2)(x_2-x_1)+ …+f(c_n)(x_n-x_{n-1})
\]
S=f(c_1)(x_1-x_0)+f(c_2)(x_2-x_1)+ …+f(c_n)(x_n-x_{n-1})
\]
となり、$\sum$を用いて表すと
\[
S= \sum_{k=1}^{n} f(c_k)(x_k-x_{k-1}) （リーマン和という）
\]
となるならば、 $f(x)$ は $[a,b]$ で積分可能であるといい、S= \sum_{k=1}^{n} f(c_k)(x_k-x_{k-1}) （リーマン和という）
\]
\[
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) \\\]と表す．$（F(x) ：原始関数）$
うむ…なるほど。
２．質問コーナー break Time
ここでは、出てきそうな質問をいくつか取り上げます．
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Q．恋は何の関数ですか？
A．恋は時間が経つにつれて変化しますので、きっと時間の関数でしょう。
ここでは、$(時間)=t$ とすることにしましょう.
さらに、この時間 $t$ に依存する恋の関数を
\[
(恋の関数)=f(t)
\] とおいてみることにします.
Q．恋の関数は増加関数？
A．恋は人のよって違うはずですので、場合わけが必要です．
(ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる＝増加関数
➡とても理想的な恋ですね💑
(ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた＝減少関数
➡残念．
(ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた
の3通りを考えてみましょう．
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３．証明（本題）
では、おそらく準備が整ったので「恋を積分すると愛⇔愛を微分すると恋」
\[
\int 恋 dt＝愛
\]を証明していきましょう．
Proof
時間に依存する恋の関数を$f(t)$ とする．なお、Cを積分定数とする．
\[
\int_0^\infty f(t) dt＝愛+C\tag{1}
\]を証明すればよい．
ここで恋に関して3通りに場合わけする．
(ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる＝増加関数
このときの関数を
\[
f(t)=e^t-1\tag{2}
\] に近似して考える．(1),(2)式より
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n(e^t-1) dt=\infty
\] ここで
True love is inexhaustible; the more you give, the more you have.
真実の愛は無限だ。与えれば与えるほど大きくなる。
（アントワーヌ・ド・サン＝テグジュペリ）
より愛は無限であるので
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt＝\infty=愛
\] である．よって、このとき(1)式が正しいことが証明された．
(ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた＝減少関数
このときの関数を
\[
f(t)=\frac{ 1 }{ t^2+4 }\tag{3}
\] に近似して考える．(1),(3)式より
\[
\int_0^\infty \frac{ 1 }{ t^2+4 } dt＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n\frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\frac{ \pi }{4 }
\] と収束してしまうため、愛にはならない．よって、このとき(1)式は成り立たない．
(ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた
このときの関数を
\[
f(t)=te^{-t}\tag{4}
\] に近似して考える．(1),(4)式より
\[
\int_0^\infty te^{-t} dt＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^nte^{-t} dt=1
\] と収束してしまうため、愛にはならない．よって、このとき(1)式は成り立たない．
よって、(ⅰ) ,(ⅱ),(ⅲ)より「恋を積分すると愛」はすべての場合において成り立たない。（Q.E.D.）
時間に依存する恋の関数を$f(t)$ とする．なお、Cを積分定数とする．
\[
\int_0^\infty f(t) dt＝愛+C\tag{1}
\]を証明すればよい．
ここで恋に関して3通りに場合わけする．
(ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる＝増加関数
このときの関数を
\[
f(t)=e^t-1\tag{2}
\] に近似して考える．(1),(2)式より
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n(e^t-1) dt=\infty
\] ここで
True love is inexhaustible; the more you give, the more you have.
真実の愛は無限だ。与えれば与えるほど大きくなる。
（アントワーヌ・ド・サン＝テグジュペリ）
より愛は無限であるので
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt＝\infty=愛
\] である．よって、このとき(1)式が正しいことが証明された．
(ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた＝減少関数
このときの関数を
\[
f(t)=\frac{ 1 }{ t^2+4 }\tag{3}
\] に近似して考える．(1),(3)式より
\[
\int_0^\infty \frac{ 1 }{ t^2+4 } dt＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n\frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\frac{ \pi }{4 }
\] と収束してしまうため、愛にはならない．よって、このとき(1)式は成り立たない．
(ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた
このときの関数を
\[
f(t)=te^{-t}\tag{4}
\] に近似して考える．(1),(4)式より
\[
\int_0^\infty te^{-t} dt＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^nte^{-t} dt=1
\] と収束してしまうため、愛にはならない．よって、このとき(1)式は成り立たない．
よって、(ⅰ) ,(ⅱ),(ⅲ)より「恋を積分すると愛」はすべての場合において成り立たない。（Q.E.D.）
上の証明より残念ながら
\[
\int 恋 dt＝愛 ⇔（愛）'=恋
\]は成り立たないようです．
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4．最後に
途絶えることのない恋？愛？ができるといいですね。
みなさま、末永くお幸せに！さよなら…✋
あっ、理系のみなさん是非買って、読んでみてください！
ご意見等ありましたらコメント欄へ💦
【購入はこちらから】
― 中村 航 (著) ―
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