※この記事は大変デタラメです
暑さで頭が相当おかしい管理人です。
― 中村 航 (著) ―
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どうやら理系女子の話みたいです。理系…理系…そうだ!
【恋を積分すると愛】を証明してみましょう!
なお、当記事では、MathJaxで数式を書いていきます。
1.定積分の定義
まずは積分とは何なのか、積分の定義から確認していきましょう.
Definition
ここでは、関数 $f(x)$ について考える.
まず、$[a,b]$をいくつかの小区間に分割し、それを
\[
a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b
\]
\[
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) \\\]と表す.$(F(x) :原始関数)$
ここでは、関数 $f(x)$ について考える.
まず、$[a,b]$をいくつかの小区間に分割し、それを
\[
a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b
\]
とする.
次に、任意の値 $c_1,c_2,c_3,…,c_n$ をとる.すると面積 $S$ は
\[
S=f(c_1)(x_1-x_0)+f(c_2)(x_2-x_1)+ …+f(c_n)(x_n-x_{n-1})
\]
S=f(c_1)(x_1-x_0)+f(c_2)(x_2-x_1)+ …+f(c_n)(x_n-x_{n-1})
\]
となり、$\sum$を用いて表すと
\[
S= \sum_{k=1}^{n} f(c_k)(x_k-x_{k-1}) (リーマン和という)
\]
となるならば、 $f(x)$ は $[a,b]$ で積分可能であるといい、S= \sum_{k=1}^{n} f(c_k)(x_k-x_{k-1}) (リーマン和という)
\]
\[
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) \\\]と表す.$(F(x) :原始関数)$
うむ…なるほど。
2.質問コーナー break Time
ここでは、出てきそうな質問をいくつか取り上げます.
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Q.恋は何の関数ですか?
A.恋は時間が経つにつれて変化しますので、きっと時間の関数でしょう。
ここでは、$(時間)=t$ とすることにしましょう.
さらに、この時間 $t$ に依存する恋の関数を
\[
(恋の関数)=f(t)
\] とおいてみることにします.
Q.恋の関数は増加関数?
A.恋は人のよって違うはずですので、場合わけが必要です.
(ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる=増加関数
➡とても理想的な恋ですね💑
(ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた=減少関数
➡残念.
(ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた
の3通りを考えてみましょう.
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3.証明(本題)
では、おそらく準備が整ったので「恋を積分すると愛⇔愛を微分すると恋」
\[
\int 恋 dt=愛
\]を証明していきましょう.
Proof
時間に依存する恋の関数を$f(t)$ とする.なお、Cを積分定数とする.
\[
\int_0^\infty f(t) dt=愛+C\tag{1}
\]を証明すればよい.
ここで恋に関して3通りに場合わけする.
(ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる=増加関数
このときの関数を
\[
f(t)=e^t-1\tag{2}
\] に近似して考える.(1),(2)式より
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n(e^t-1) dt=\infty
\] ここで
True love is inexhaustible; the more you give, the more you have.
真実の愛は無限だ。与えれば与えるほど大きくなる。
(アントワーヌ・ド・サン=テグジュペリ)
より愛は無限であるので
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt=\infty=愛
\] である.よって、このとき(1)式が正しいことが証明された.
(ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた=減少関数
このときの関数を
\[
f(t)=\frac{ 1 }{ t^2+4 }\tag{3}
\] に近似して考える.(1),(3)式より
\[
\int_0^\infty \frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n\frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\frac{ \pi }{4 }
\] と収束してしまうため、愛にはならない.よって、このとき(1)式は成り立たない.
(ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた
このときの関数を
\[
f(t)=te^{-t}\tag{4}
\] に近似して考える.(1),(4)式より
\[
\int_0^\infty te^{-t} dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^nte^{-t} dt=1
\] と収束してしまうため、愛にはならない.よって、このとき(1)式は成り立たない.
よって、(ⅰ) ,(ⅱ),(ⅲ)より「恋を積分すると愛」はすべての場合において成り立たない。(Q.E.D.)
時間に依存する恋の関数を$f(t)$ とする.なお、Cを積分定数とする.
\[
\int_0^\infty f(t) dt=愛+C\tag{1}
\]を証明すればよい.
ここで恋に関して3通りに場合わけする.
(ⅰ) 時間が進むにつれて恋が深まる=増加関数
このときの関数を
\[
f(t)=e^t-1\tag{2}
\] に近似して考える.(1),(2)式より
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n(e^t-1) dt=\infty
\] ここで
True love is inexhaustible; the more you give, the more you have.
真実の愛は無限だ。与えれば与えるほど大きくなる。
(アントワーヌ・ド・サン=テグジュペリ)
より愛は無限であるので
\[
\int_0^\infty (e^t-1) dt=\infty=愛
\] である.よって、このとき(1)式が正しいことが証明された.
(ⅱ) 時間が進むにつれて恋が冷めた=減少関数
このときの関数を
\[
f(t)=\frac{ 1 }{ t^2+4 }\tag{3}
\] に近似して考える.(1),(3)式より
\[
\int_0^\infty \frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^n\frac{ 1 }{ t^2+4 } dt=\frac{ \pi }{4 }
\] と収束してしまうため、愛にはならない.よって、このとき(1)式は成り立たない.
(ⅲ) 最初は上り調子だったがある時間$t$から冷めた
このときの関数を
\[
f(t)=te^{-t}\tag{4}
\] に近似して考える.(1),(4)式より
\[
\int_0^\infty te^{-t} dt=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \int_0^nte^{-t} dt=1
\] と収束してしまうため、愛にはならない.よって、このとき(1)式は成り立たない.
よって、(ⅰ) ,(ⅱ),(ⅲ)より「恋を積分すると愛」はすべての場合において成り立たない。(Q.E.D.)
上の証明より残念ながら
\[
\int 恋 dt=愛 ⇔(愛)'=恋
\]は成り立たないようです.
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4.最後に
途絶えることのない恋?愛?ができるといいですね。
みなさま、末永くお幸せに!さよなら…✋
あっ、理系のみなさん是非買って、読んでみてください!
ご意見等ありましたらコメント欄へ💦
【購入はこちらから】
― 中村 航 (著) ―
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